Принятые обозначения
-измеряемая
величина, 
-среднее значение измеряемой величины, 
- абсолютная погрешность среднего значения измеряемой
величины, 
- относительная
погрешность среднего значения измеряемой величины.
Расчет погрешностей непосредственных измерений
Итак,
предположим, что были проведены n измерений одной и той же величины 
в
одних и тех же условиях. В этом случае можно рассчитать среднее значение этой
величины в проведенных измерениях:
(1)
Погрешность 
вычисляется по
следующей формуле:
(2)
В этой формуле используется
коэффициент Стьюдента 
. Его значения при разных доверительных вероятностях и
значениях 
приведены в таблице.
Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:
Задача.
Вы провели
измерения времени t
движения каретки по наклонной плоскости между двумя датчиками. Было сделано 10
измерений и получены следующие значения (сек): 0.28, 0.30, 0.29, 0.31, 0.30,
0.29, 0.30, 0.31, 0.28, 0.30. Требуется найти среднее значение T измеряемой величины
(времени движения) и его погрешность 
. Инструментальная погрешность секундомера в автоматическом
режиме 
с.
Решение.
С использованием формулы (1) находим:
с
Теперь с использованием формулы
(2) найдем абсолютную погрешность 
среднего значения 
при доверительной
вероятности 
и числе степеней
свободы 
(используем значение 
=2,262, взятое из таблицы):
Так как полученное значение погрешности измерения меньше инструментальной погрешности, следовательно, результат записывается следующим образом:
t = 0,29 ±0,01 с
Если абсолютная погрешность средней величины оказывается сравнимой или больше инструментальной погрешности, то в окончательном ответе погрешности суммируются:
Расчет погрешностей косвенных измерений
Предположим,
что в ходе эксперимента измеряются величины 
, а затем c
использованием полученных значений вычисляется величина 
по формуле 
. При
этом погрешности непосредственно измеряемых величин рассчитываются так, как это
было описано в пункте 3.
Расчет
среднего значения величины 
производится по
зависимости 
с использованием средних значений аргументов 
.
Погрешность
величины 
рассчитывается по
следующей формуле:
, (3)
где 
-
количество аргументов 
, 
- частные производные функции 
по аргументам 
, 
- абсолютная
погрешность среднего значения аргумента 
.
Абсолютная
погрешность, как и в случае с прямыми измерениями, рассчитывается по формуле 
.
Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:
Задача.
Было проведено
5 непосредственных измерений величин 
и 
. Для величины 
получены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для
величины 
получены значения:
500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать значение величины 
, определяемой по формуле 
и найти погрешность
полученного значения.
Решение.
По формуле (1)
найдем средние значения величин 
и 
:
Вычисляем 
:
Находим
в таблице при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы 
значение 
. По формуле (2) рассчитываем погрешности средних значений
величин 
и 
:
С
использованием формулы (3) находим относительную погрешность среднего значения
величины 
:
Найдем
абсолютную погрешность среднего значения величины 
:
Запишем результат:
Таблица коэффициентов Стьюдента
|
a =0,68 |
a =0,95 |
a =0,99 |
|||
|
n |
ta ,n |
n |
ta ,n |
n |
ta ,n |
|
2 |
2,0 |
2 |
12,7 |
2 |
63,7 |
|
3 |
1,3 |
3 |
4,3 |
3 |
9,9 |
|
4 |
1,3 |
4 |
3,2 |
4 |
5,8 |
|
5 |
1,2 |
5 |
2,8 |
5 |
4,6 |
|
6 |
1,2 |
6 |
2,6 |
6 |
4,0 |
|
7 |
1,1 |
7 |
2,4 |
7 |
3,7 |
|
8 |
1,1 |
8 |
2,4 |
8 |
3,5 |
|
9 |
1,1 |
9 |
2,3 |
9 |
3,4 |
|
10 |
1,1 |
10 |
2,3 |
10 |
3,3 |
|
15 |
1,1 |
15 |
2,1 |
15 |
3,0 |
|
20 |
1,1 |
20 |
2,1 |
20 |
2,9 |
|
30 |
1,1 |
30 |
2,0 |
30 |
2,8 |
|
100 |
1,0 |
100 |
2,0 |
100 |
2,6 |
